Переходной характеристикой называется такая характеристика объекта (или системы), которая показывает изменение выходной величины во времени звена, объекта регулятора или системы при подаче на вход единичного скачка  . Единичный скачек отвечает 100%-ому мгновенному изменению управляющего сигнала или возмущающего воздействия.

Формируем модель передаточной функции:

sys=tf(1.2,[85,1]);
sys.ioDelay=35;

Строим график переходной характеристики
figure(1)
subplot(2,1,1)
step(sys),grid on

Комплексной передаточной функцией называется отношение выходной величины, преобразованной по Фурье, к входной величине, преобразованной по Фурье в режиме незатухающих гармонических колебаний.
Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) называется отношение амплитуды выходного гармонического сигнала к амплитуде входного гармонического сигнала.
Фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) называется разность между входными и выходными колебаниями.
Амплитудо-фазо-частотная характеристика (АФЧХ) представляет собой геометрическое место точек на комплексной плоскости концов вектора при изменении   от 0 до бесконечности.

Построение АЧХ, ФЧХ:
figure(3)
[Amp,Phasep,Omega]=bode(sys,[0:0.001:0.1]);
Am=[];
Phase=[];
Am(:,1)=Amp(1,1,: );
Phase(:,1)=Phasep(1,1,: );
subplot(2,1,1)
plot(Omega,Am),grid on
subplot(2,1,2)
plot(Omega,Phase),grid on

Расчет оптимальных настроек ПИ регулятора для одноконтурной системы методом расширенных АФЧХ.
Передаточная функция ПИ регулятора описывается выражением:
где C1 и C0 соответствуют пропорциональному и интегральному коэффициентам регулятора.
В общем случае для объекта 1-ого порядка C1 и C0 имеют вид:
Далее, задача сводится к построению графика линии равной степени затухания, т.е. зависимости С0(С1) , где С0=С0(W), C1=C1(W)  . График строится до тех пор, пока первый раз не пересечет ось абсцисс, т.е. пока C0i(w)>0 . Определяем координаты точки, соответствующие максимальному значению C0(w)  . Следующая за ней точка с координатами по ω и будет соответствовать оптимальным параметрам ПИ регулятора.

Текст программы
m=0.366; -степень колебательности (выбирается в зависимости от степени затухания)
tau=35; -запаздывание
k=1.2;
T=85; - постоянная времени
 
hw=0.0015;
w=0;
vc0=[];
vc1=[];

c0=0;

figure(5)
while c0>=0
A=1-(T*m*w);
B=-(T*w);
c1=((A*m-B)*sin(w*tau)-(A+m*B)*cos(w*tau))/(k*exp(m*w*tau));
c0=((A*sin(w*tau)-B*cos(w*tau))/(k*exp(m*w*tau)))*((1+m^2)*w);
vc0=[vc0,c0];
vc1=[vc1,c1];
w=w+hw;
end

n=length(vc0);
n=length(vc1);
vc0(n)=[];
vc1(n)=[];
[c0max,n]=max(vc0);
c0opt=vc0(n+1)
c1opt=vc1(n+1)
plot(vc1,vc0,vc1,vc0,'r.',c1opt,c0opt,'green*'),grid on

График:

Критерий Михайлова
Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при   ее кривая Михайлова, начинаясь с положительной вещественной полуплоскости, последовательно обходила   n квадрантов в положительном направлении (против часовой стрелки). Следует отметить, что кривые Михайлова устойчивых систем не пересекают начало координат и уходят на бесконечность  в  n-ом квадранте.
Для использования этого критерия в характеристическом уравнении оператор Лапласа заменяется на jw  , Вследствие чего получим уравнение годографа Михайлова. Замена оператора Лапласа в системе MATLAB осуществляется с помощью цикла for

Выделяя вещественную и мнимую части функциями real и imag, строим годограф Михайлова в координатах  .

Код:
figure (7)
a0 = 0.032;
a1 = 1.698;
a2 =85;
Re=[];Im=[];
for w=0.0001:0.001:0.45,
    Njw= a2*((w*j)^2)+a1*(w*j)+(a0);
    Re = real(Njw);
    Im = imag(Njw);
    plot(Re, Im, 'k.')
    xlabel('Re(W)')
    ylabel('Im(W)')
    hold on
end
hold off
grid on
axis([-0.45 0.45 0.45 0.45])

Построение переходного процесса в АСР (Способ не работает в версиях Matlab 6.5 и ниже)
Качество переходного процесса
Переходной процесс – это изменение регулируемой величины во времени при переходе из одного установившегося состояния в другое.
Характер переходного процесса системы зависит от вида возмущающего воздействия и начальных условий. Для того, чтобы можно было сравнить между собой системы по характеру переходного процесса, из возможных воздействий выбирают типовые или наиболее неблагоприятные и определяют кривую переходного процесса при нулевых начальных условиях. В качестве типовых воздействий при анализе динамики АСР обычно используют единичное ступенчатое воздействие, единичный импульс, линейно возрастающее воздействие, синусоидальное воздействие и др. Для большинства систем типовым и наиболее неблагоприятным является воздействие вида единичной ступенчатой функции  . Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях называется переходной функцией системы. Переходная функция системы оценивается с помощью совокупности характеристик, называемых показателями качества переходного процесса. Обычно различают следующие показатели качества переходного процесса системы:
1. Динамическая ошибка регулирования   – максимальное отклонение регулируемой величины.   Не должна превышать наперед заданного значения динамической ошибки.
2. Статическая ошибка   – это остаточное отклонение регулируемой величины от заданного значения.   Не должна превышать наперед заданного значения.
3. Время регулирования или время переходного процесса   – это время от начального изменения выходной величины до ее нового установившегося значения. Время регулирования характеризует быстроту затухания переходного процесса. В этом случае   требуется минимизировать.

Код:

figure(5)
w0=tf([k],[T,1]);           
w0.ioDelay=tau;
w0ss=ss(w0);
wp=tf([c1opt,c0opt],[1 0]);
wpss=ss(wp);
w=feedback(w0ss,wpss);
t=[0:1:600];
[ht,t]=step(w,t);
plot(t,ht),grid on,hold on

n=length(ht);
[Ddin,ndin]=max(ht)
tdin=[t(ndin),t(ndin)];
Ddinh=[0,Ddin];
plot(tdin,Ddinh,'k',tdin(1),Ddinh(1),'kv',tdin(2),Ddinh(2),'k^')

s4et4ik=0;
for i=[2:n-1];
     if (ht(i)>ht(i-1))&(ht(i)>ht(i+1))
        s4et4ik=s4et4ik+1;
        if s4et4ik==2
            Dstat=ht(i)
            Treg=t(i)
        end
     end
end
plot(Treg,Dstat,'red*'), hold on
Dstath=[-Dstat];
IntArea=sum(abs(ht)*(t(2)-t(1))) (подинтегральная площадь графика)